Unendlichkeit

Letzte Änderung: 15.06.2018

Mathematisch betrachtet

Zu Anfang gleich eine Warnung: Ich bin kein Mathematiker, bin nur fasziniert von einigen mathematischen Phänomenen. Wenn also jemand sich besser in dem Thema auskennt und Fehler oder Unzulänglichkeiten entdeckt bitte ich darum, mir diese mitzuteilen. Die Unendlichkeit scheint ein einfaches Thema zu sein, aber sie enthält doch einige Überraschungen.
Zunächst einmal: Was ist das überhaupt, die Unendlichkeit.
Mathematisch gesehen geht es dabei schlicht um Zahlenreihen, die kein Ende haben. Also Zahlenreihen, in denen, gleich an welcher Stelle man ist, immer noch eine Zahl drauf gerechnet werden kann.
Das einfachste Beispiel dafür ist die Zahlenreihe der ganzen Zahlen: 1,2,3,4,5,6,7,8,...
Sie können beliebig hoch gezählt werden - bis ins Unendliche, oder besser gesagt ohne Ende
Ein anderes Beispiel sind die rationalen Zahlen: 1/2, 1/3, 1/4, ..., 23/2265, ..., 11098236671/1726438201, ...
Auch diese Zahlen können ohne Ende weitergeführt werden.
Auch Ergebnisse aus diesen Zahlen können eine Unendlichkeit sein: n² zum Beispiel. Also 12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ... 252=625, ... 2211542=48909091716, ... Damit haben wir auch schon die erste Eigentümlichkeit:
Von normalen Zahlenmengen sind wir gewohnt, dass eine Auswahl aus dieser Menge (also Quadratzahlen, Primzahlen, gerade oder ungerade Zahlen, ...) kleiner ist als die Menge der natürlichen Zahlen.
In der Unendlichkeit aber ist das anders, da jeder natürlichen Zahl immer eine entsprechende Zahl des Auswahlkriteriums zugeordnet werden kann. In der Unendlichkeit hat jede Zahl eine Quadratzahl - und sei sie auch noch so groß.
Also sind Auswahlen aus einer unendlichen Zahlenreihe - egal, wie selten sie  vorkommen - auch unendlich. Das erschüttert den normalen Menschenverstand noch nicht so richtig, weil man es sich einfach nicht vorstellen kann.

So mancher Mathematiker hat darüber allerdings schon Schaden genommen. So war der deutsche Mathmatiker Georg Cantor (1845 - 1918) von der Unendlichkeit dermaßen fasziniert, dass er gegen Ende seiner Karriere von seinen Kollegen nicht mehr wirklich ernst genommen wurde: Er hielt das konzept der unendlichkeit für heilig und zerstritt sich mit seinen Kollegen. Er endete in einer Nervenheilanstalt in Halle. Was Cantor so in seinen Bann riss, war seine Idee, wie man mit Unendlichkeiten umgehen kann: Zu jeder Menge gibt es eine soganannte Kardinalzahl. Sie besagt schlicht, wieviele Elemente diese Menge hat. Bei einfachen Mengen wie zum Beispiel {100, 200, 300, 400} ist diese Kardinalzahl 4. Bei einer unendlichen Zahlenreihe dagegen ist diese Kardinalzahl ebenfalls unendlich. Diese unendlich hohe Kardinalzahl nannte Cantor Aleph Null (ℵ0). Nun stellt sich die Frage, kann man zu höheren Unendlichkeiten gelangen? Auf diese Kardinalzahl eins zu addieren bringt selbstverständlich kein Ergebnis, denn ∞+1 bleibt ∞. Sogar âˆž+∞ ändert nichts. Denn das Ergebnis wäre immer noch abzählbar (genügend Zeit vorausgesetzt). Das ändert sich erst bei einem etwas komplexeren Gedanken:Wenn man nämlich die Menge aller Teilmengen nimmt, dann lässt es sich nicht mehr abzählen. Zur Erläuterung eine endliche Menge: {100, 200, 300}.Teilmengen daraus sind {}, {100], {200}, {300}, {100,200}, {100,300}, {200,300} und {100,200,300}. Dieses Prinzip, angewendet auf eine unendliche Menge ergibt eine Potenzmenge, nämlich 2 â„µ0. Diese Potenz nannte Cantor ℵ1. Und es geht noch weiter: 2ℵ1 = ℵ2, 2ℵ2 = ℵ3, ... bis ℵℵ

Praktisch betrachtet

Im Alltag ist man mit dem Begriff der Unendlichkeit recht schnell dabei. Da dauert es schonmal unendlich, bis die Freundin aus dem Badezimmer kommt, sie hat endlos viele Schuhe, etc, etc. Es gibt unendlich viele solcher Beispiele.
Aber das meiste, was uns unendlich erscheint ist eben doch endlich.
Ein großes Beispiel: Die Menge aller Atome im Universum kann berechnet werden. Sie ist groß. Wirklich sehr groß. Gigantisch geradezu. Aber keineswegs unendlich. Sie beträgt etwa 10 hoch 80. Um es mal so zu sagen: 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Atome.
Das ist wirklich eine große Zahl. Aber selbst, wenn man sie mit sich selbst multiplizieren würde, wäre man immer noch unendlich weit weg von der Unendlichkeit. 
Es wurde mal so ausgedrückt:
Nimm eine Stahlkugel, so groß wie die Erde und einen Spatzen, der alle eintausend Jahre auf der Kugel landet und dann wieder fortfliegt. Wenn die Kugel durch den Abrieb komplett verschwunden ist, dann hat die Unendlichkeit noch nicht mal richtig angefangen.

PI
Mathematiker und Laien auf der ganzen Welt sind fasziniert von der Kreiszahl Pi (π), mit deren Hilfe allerhand Kreis- und Kugelberechnungen angestellt werden können. Und viele Teams auf der ganzen Welt sind damit beschäftigt, π bis auf die letzte Stelle auszurechnen. Der Haken an der Sache ist der, dass π unendlich viele Stellen hinter dem Komma hat. Man also nie ein Ende erreichen kann. Die Tatsache, dass π unendlich viele Stellen hat, ist auch mathematisch bewiesen. Warum man trotzdem weitermacht, sollte man die fragen, die es tun.

Carl Sagan führte in seinem Roman "Contact" zu einem interessanten Gedanken: Was wäre, wenn wir in an der billionsten Stelle eine Zahlenfolge finden würden, die einen offensichtlich intelligenten Code beinhaltet? Und ein paar Milliarden Stellen weiter einen weiteren als Ergänzung, etc.
Wer weiß, ob nicht wirklich irgendwo, sagenhaft tief in der Zahl versteckt, weitere Botschaften stecken?

Und tatsächlich ist dem so, wir haben sie nur noch nicht gefunden. Denn in einer unendlich langen Zahlenfolge gibt es jede beliebige Zahlenkombination irgendwo. Jedes Werk von Shakespear, jedes jemals geschriebene Computerprogramm, jede jemals ausgesprochene oder nicht ausgesprochene Botschaft ist irgendwo zu finden. Vorausgesetzt, sie lässt sich in Zahlenform (Vielleicht über die ASCII-Tabelle) darstellen. 
Das heißt aber auch, dass, sollte man eine Botschaft finden, sie einfach eine zufällige Zahlenkombination sein kann, die aufgrund reiner Wahrscheinlichkeit in der schieren Menge an Zahlen irgendwo vorkommen Muss.

Bislang wurde keine Regelmäßigkeit gefunden. Und immerhin sind mehr als 5 Billionen Stellen bekannt (Laut Wikipedia, Stand 2010).
Wie weit das notwendig und sinnvoll ist, sei mal dahingestellt. Um Kreise genauer berechnen zu können jedenfalls längst nicht mehr.
Denn um den Umfang des größtmöglichen Kreises in der größtmöglichen Genauigkeit zu berechnen benötigt man weit weniger Dezimalstallen.
Der größte vorstellbare Kreis ist das Universum selbst, nach gängigem Modell mit einem Radius von 1,3*1026m.
Die größte vorstellbare Genauigkeit ist das Plancksche Raum-Quantum mit 10^-35m. Damit ist also der Radius des Universums mit 1,3*1061 Planck-Längen bekannt.
Um aus diesem Radius nun den Umfang des Universums auf eine Planck-Länge genau zu berechnen, wären 62 Nachkommastellen vollkommen ausreichend.
Wer also nun den Umfang des Universums ausrechnen will (und den Radius auf eine Planck-Länge genau kennt, auch wenn es sich ständig ausdehnt) kann sich einfach dieser Näherung mit 62 Stellen bedienen:
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 59

Fraktale
Eine weitere Anwendung der Unendlichkeit oder vielmehr der Näherung daran ist die Berechnung von Fraktalen.
Dieser Begriff geht auf Benoit Mandelbrot zurück und bezeichnet ein Objekt, das sich selbst in verschiedenen Maßstäben ähnelt. Ein Baum wäre beispielsweise ein solches Fraktal, denn die Verzweigungen der Zweige ähnelt den Verästelungen der Äste und diese wiederum spiegeln die mögliche Verzweigung mehrerer Stämme wieder. Weiterhin findet man diese Verästelungen in den Adern. 
Bekannter sind künstliche Fraktale, die auf verschiedene Weise berechnet werden können. So gibt es geometrische Fraktale, die durch mathematische Beschreibungen entstehen. Allen gemein ist dabei, dass sie theoretisch bis in unendliche Genauigkeit berechnet werden könnten und dabei nicht einfacher werden sondern komplex bleiben.
Die Genauigkeit wird bezeichnet als Anzahl an Iterationen, was soviel heißt wie die Anzahl der durchgeführten Rechenschritte.
Zur Verdeutlichung ein Sirpinskiteppich: hier wird eine Fläche in neun kleinere Flächen unterteilt und die mittlere invertiert. Im nächsten Schritt werden die 8 übriggebliebenen Flächen wieder jeweils in neun kleinere unterteilt und die mittlere gelöscht, etc: 

Spirituell betrachtet

In der spirituellen Welt hat die Unendlichkeit eine große Bedeutung.
So wird Gott von den meisten monotheistischen Religionen als allmächtig, also unendlich mächtig, bezeichnet.
Eine Behauptung, die durch ein einfaches Paradox gekippt werden kann:
Kann Gott einen Stein erschaffen, den er selber nicht anheben kann?

Auch wird Gott als das reine Gute und Satan als das unendlich Böse bezeichnet und die Höllenqualen währen ewig. Eine Menge Unendlichkeiten.
Doch auch hier: Wenn Satan unendlich böse ist, wie kann er dann etwas Gutes bewirken, um jemanden in eine Falle zu locken? Denn das Gute, das er bewirkt bleibt etwas Gutes. Was seine Bosheit einschränkt und damit ist er nicht mehr unendlich böse, sondern nur noch sehr böse - vielleicht.

Aber nicht nur in monotheistischen Religionen spielt die Unendlichkeit eine Rolle. Sie findet sich auch auf anderen spirituellen oder zumindest gedanklichen Spielwiesen.
So gibt es zum Beispiel die Idee, dass die Welt fraktal aufgebaut ist: Es gibt das Universum, als kleinere Einheit kommen dann die Galaxien-Superhaufen, dann Galaxienhaufen, dann Galaxien. Die nächstkleinere Struktur ist ein Sonnensystem, als nächstes kommen Planetensysteme. Einen gehörigen Sprung in der Skala weiter ist der nächste Maßstab das Molekül, dann Atome, Atomkerne und schließlich Quarks. Danach kommen gibt es Begriffe wie Strings, Quantenschaum, gefaltete Dimensionen, etc, etc.
Wer weiß, vielleicht setzen sich diese Maßstäbe im Großen wie im Kleinen, für uns unbeobachtbar unendlich fort und der nächstgrößere Maßstab nach dem Universum ist ein Multiversum und wer weiß, was man sich dann noch vorstellen kann.

Möglicherweise fängt der Maßstab wieder von vorne an und unser Universum ist nur ein Quark in einem unvorstellbaren anderen Universum. Und innerhalb eines jeden subatomaren Bausteins befindet sich ein ganzes anderes Universum ... nur so ein Gedanke.